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zoom RSS アインシュタインの関係式(その1)

<<   作成日時 : 2010/07/19 19:10   >>

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 前回、拡散現象の理論の概要を紹介しましたが、拡散の起こりやすさを示す定数として拡散定数が出てきました。この拡散定数Dと移動度の間の関係として次式のようなアインシュタインの関係式が知られています。
    (1)
ここでkはボルツマン定数、Tは絶対温度です。

 移動度についてはオームの法則のところで、
    (2)
で表されることを示していますので、これより(1)式は緩和時間を使って
    (3)
と簡単な式になります。

 本書(*)では古典電子論による解析の例としてこのアインシュタインの関係式の導出を紹介していますので、ここでもそれを取り上げます。

 個々の電子に関する運動方程式から出発します。オームの法則の導出の際と同様に、電子が原子と衝突を繰り返しながら運動(ブラウン運動)している場合を考えます。
    (4)
ここでは個々の電子に時間tではたらく力ですが、電場など外部からの力ははたらかない場合を想定しますので、の平均値は0です。

 以下少し数学的な式の変形が必要です。本書では表式を簡単にするため
     
というよく使われる記号による置き換えを行っていますが、ここでは置き換えずにそのままで行きます。

 さらに時刻で位置にいた電子が時刻tで位置xに移動したとし、これは少しテクニックですが、(4)式の両辺にをかけます。
   (5)

 上式左辺第1項を積の微分である次式の関係
 
を使って書き直すと、
   (6)
となります。

 ここで全電子に関して平均をとります。の平均は0ですから、右辺のの平均も0となります。

 またここで重要なのがの平均がに等しくなるということです。この関係の導出は脇道が長くなりますので、以下次回とします。
 
(*)植村泰忠、菊池誠著、「半導体の理論と応用(上)」、裳華房

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