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zoom RSS シュレディンガー方程式

<<   作成日時 : 2010/09/26 19:23   >>

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 さて、前回までに紹介したことを前提に量子力学の基礎方程式であるシュレディンガー方程式を導きます。と言いますが、この方程式は数学的にどこかから導かれるというよりは、仮定に基づいて作られた方程式と言えます。

 まず前回導出した波動方程式はつぎの通りです。
   (1)
これをxで偏微分します。

 偏微分というのは高校の数学には出てこないのですが、とくに難しいことはありません。f(x,t)のように複数の変数に依存する関数をxで微分するとき、一般的にはxによってtが変化するので、xとtの関係を考慮しなければなりません。これに対してxによる偏微分は関数fの変数はxのみとみなして微分することです。この場合、普通の微分のことを常微分といい区別することがあります。記号も常微分の
 
と区別するため、
 
と書きます。

 さて(1)式をxで偏微分すると
   (2)
となります。eの指数関数の微分は複素数であっても実数の場合と同じで関数の形が変わらないのが特徴です。

 ここで(2)式をもう一度xで偏微分します。これでも関数の形は変わりません。係数が今度は実数のとなります。
   (3)

 古典力学の運動エネルギーTは
 
ですから、運動量p
 
の関係を使うと、Tは
 
とも書けます。ここでこの運動量pに量子論で得られた関係
 
を代入します。すると
   (4)
の関係が得られます。古典力学の式にこのような代入をしてもよいのかどうか、この辺りが非常に大胆な仮定による理論の進め方です。

 (4)式右辺にはがありますから、この関係を(3)式に入れて整理すると
   (5)
が得られます。

 一方、全エネルギーEは古典力学において運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーVの和ですから
  (6)
です。ここでポテンシャルエネルギーとは、位置エネルギーが一例です。地上の重力のもとでの位置エネルギーは地表からの高さが高いほど大きくなります。プラスとマイナスの電荷が引き合う力によってもポテンシャルエネルギーが発生します。

 この(6)式の関係を使って(5)式を書き直すと
   (7)
となります。これが時間に依存しないシュレディンガー方程式です。(1)式のようにのなかには時間の項が入っているのですが、(7)式をみればわかるようにこの項は両辺に入っていますから、両辺をで割ってしまえば時間に依存する項はなくなります。

 時間に依存する式は上式を時間tで偏微分することによって同様に得られます。
   (8)
エネルギーについての量子論の式は
 
でしたから、これを(8)式に入れて
 
となります。

 (6)式の関係を使って(7)式と同様な式を書けば
   (9)
となります。これが時間に依存するシュレディンガー方程式で(7)式の場合と同じようにのなかのは両辺から消すことができます。

 以上のように波動関数の微分に古典力学と量子論から得られた関係を使えば、シュレディンガー方程式に行き着くことはできます。しかしこれが何を意味するのか、どんな現象を表しているのか、などはこれだけではまったくわからないと思います。そろそろまた「半導体の理論と応用」に戻り、この方程式が半導体にどのように適用されるのかを勉強したいと思います。




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