石くれと砂粒の世界

アクセスカウンタ

zoom RSS フーリエ展開

<<   作成日時 : 2010/12/23 19:52   >>

ブログ気持玉 0 / トラックバック 0 / コメント 0

 実際の結晶中での電子の理論をさらに進めるためには、周期ポテンシャルの形を一般化して扱えるようにする必要があります。それを行う有力な手段がフーリエ展開です。

 関数が周期関数ならばフーリエ級数という無限級数でその関数が表せます。その理屈にはここでは触れませんが、高校でも無限級数は出てきますし、極限値も習いますので、それほど難しい話ではないと思います。

 どういう級数かというと次のような式で示される級数です。
 
定数an、bnは表そうとするもとの関数f(θ)を使って次式で表されます。
 
 

 2πが周期の関数では一般的ではないので、周期がdの関数f(x)に直すと
 
 
 
となります。

 以上は実関数のsinとcosを使った級数ですが、オイラーの公式を使って複素数形式にすることもできます。
 

 いろいろな教科書にも載っているもっとも簡単な例を挙げておきます。図Aのような周期2πの方形波をフーリエ級数で表す(フーリエ展開する)と
 
   
となります。
 
画像
 この級数の1項だけ、2項まで、3項まで、4項までをそれぞれ描いてみたのが、図Bです。項数を増やしていくと次第に図Aの形に近づいていくのがわかると思います。

 クローニッヒ・ペニーポテンシャルも同じように展開できますが、矩形波が非対称の場合はcosの項も残り、少し複雑になります。

 本題に話を戻すと、周期aをもった1次元のポテンシャルV(x)を複素数形式でフーリエ展開すると、
 
となります。関数は特定しないままにしておきます。

 また巡回境界条件での波動関数は
 
と表せ、u(x)もポテンシャルと同じ周期をもつので、同じよう展開できます。
 
 これをシュレディンガー方程式に入れて解けば、任意の周期ポテンシャルのもとでの電子の状態がわかるはずです。

テーマ

関連テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(0件)

内 容 ニックネーム/日時

コメントする help

ニックネーム
本 文
フーリエ展開 石くれと砂粒の世界/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる