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zoom RSS バンド理論(1次元)

<<   作成日時 : 2010/12/27 00:17   >>

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 フーリエ展開した周期ポテンシャル
   (1)
と波動関数
   (2)
     (3)
を一電子モデルの一次元シュレディンガー方程式
   (4)
に代入します。なお、指数関数をと書くと、指数が複雑な場合には小さくなって見にくいので、一般になされているように以後と書くことにします。

 このシュレディンガー方程式が0でない波動関数の解をもつ条件を求めるのが、準備段階の目的です。式の整理がやっかいですが、代入後のシュレヂンガー方程式の左辺第1項の2階微分をまず実施します。
 
   
  
    (5)
ここで左辺の3番目の項にさらに次のように手を加えます。
 左辺第3項
  
     
2行目の変形が許されるのか疑問かもしれませんが、Σの加算がmもnも−∞から+∞まで行われるので、上式のようにnをn−mに置き換えても加算結果は変わりませんから、このような変形は可能です。これはexpの項を共通して次式のように括り出すために行われる数式変形のテクニックです。(5)式は
   (6)
となります。

 (6)式が成り立つためには[ ]の中が0でなければなりません。
   (7)
これより
   (8)
が得られます。ここで
 
です。

 ここでA0を求めておきます。n=0とすると
   (9)
 さらに後の利用のために少し脇道に逸れますが、(1)式のポテンシャルVの共役複素数V*をとると
   (10)
となりますが、ポテンシャルは実数ですから
   (11)
です。V(x)の方は少しテクニック的になりますが
   (12)
とも書けますから、
   (13)
であることがわかります。これを(9)式に入れると
   (14)
が得られます。

 さて、(8)式に戻りますが、この式でmを−∞から∞まで実際に加算することは不可能です。そこでとりあえずm=nの場合だけを考え、他の項は無視します。(8)式は簡単になり、
   (15)
となります。また(14)式は
   (16)
となります。

 この2つの式(15)、(16)は
   (17)
   (18)
というA0、Anに関する斉次連立方程式となります。A0、Anに0でない解があるためには
   (19)
が成り立たなければなりません。この行列式を計算すると
   (20)
となり、これはEに関する2次方程式ですから、これを解くと
   (21)
という条件が得られます。

 だいぶ長くなったので、(21)式の意味については次回とします。

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