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zoom RSS 格子ベクトル・逆格子ベクトル

<<   作成日時 : 2011/01/28 20:43   >>

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 バンド理論は3次元に拡張するためには、3次元結晶をどう表現するかが問題となります。これにはベクトルを使うのが便利です。
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 もっとも簡単な例としてxyzの方向に間隔a1、a2、a3で原子(青い丸で示す)が並んでいる図Aのような結晶(結晶格子)を考えます。ある原子を原点0にとり、xyz方向にそれぞれ長さa1、a2、a3(格子定数と言います)のベクトルをとり、これをa1a2a3とすると、あらゆる位置(格子点と言います)にある原子は次式のベクトルRで表されます。ここでn1、n2、n3は正負の整数です。
  (1)
このRを格子ベクトルと言います。

 xyz方向の軸を結晶軸と言いますが、結晶軸は直交するようにとる必要は必ずしもありません。もっと原子の並び方の規則が複雑な場合も、ベクトルをうまく取ればあらゆる結晶を(1)式で表すことができます。

 結晶軸の方向はつぎのような指数を使って表します。例えばベクトルa1の方向はn1、n2、n3を使って[100]と表します。[200]、[300]なども同じなので、最小の整数を使うという決まり事があります。a2は[010]、a3は[001]です。

 図の赤い矢印の方向は[111]です。青い矢印は[210]ですが、この例から1より大きな整数を使わなければならない場合もあることがわかると思います。
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 負の方向は などと書きますが、普通のテキスト文では書けないので[-100]、[0-10]、[00-1]と書いている場合もあります。

 結晶軸の方向を<111>と書いている場合もあります。これは例えば[111]と[-111]は図Aでみると方向は違いますが、結晶をくるっと回してしまえば同じ方向になり、実際には区別がつきません。このように等価な方向については代表して<111>と書くということになっています。図Aが立方体の重なりである単純立方格子であれば、[100]も[010]も[001]も等価ですから、これは<100>と書けばよいことになります。もっともこのような[ ]と< >の区別が明確にされていない場合もあるようです。

 結晶の面は図Bに示すように(1)式のn1、n2、n3を使ってxyz軸とn1a1、n2a2、n3a3と交わる面を(1/n1,1/n2,1/n3)と表します。例えば図Cの水色の面はn1=1ですが、a2a3の軸には平行で切片はありません。この場合は切片は∞、その逆数は0と考え、この面は(100)面となります。緑色の面もこれに平行ですから同じ(100)面です。面の場合は等価な面を代表して表す場合、{ }を使います。図Dの水色の面はn1=1、n2=1、n3=1ですから(111)面です。面の指数は丸カッコで表すことに注意し結晶軸の方向を表している場合と混同しないようにする必要があります。面を表す指数をミラー指数と呼んでいます。
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 この格子ベクトルRに対し、逆格子ベクトルKはつぎの式で定義されます。
   (2)
格子ベクトルと逆格子ベクトルのスカラー積が2nπ(nは正負の整数)になるというものです。普通の数では逆数と元の数の積は1になるので、少し違いがあります。このようにとる意味を少し説明します。

 3次元の周期ポテンシャルV(r)はフーリエ級数に展開できます。これをつぎのように書きます。
   (3)
ポテンシャルの周期条件は格子ベクトルRを使って
   (4)
となりますので、これを(3)式に代入すると
 
が満たされなければならないことがわかります。これより
 
の関係が得られます。そこで(3)式はと置き換えることができます。ということは周期ポテンシャルのフーリエ級数展開は逆格子ベクトルKを使って表現できることになります。
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 (2)式は
 
と書け、
 
と変形されます。これはKに垂直な面を考えるとRの始点からこの面までの距離がdであることを示しています。

 これは図Eのような平面上に並ぶ原子に対してすべて成り立ちますから、Kをもってこの面(格子面と言います)を表すことができることになります。この意味はまた後で戻って説明したいと思います。

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