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zoom RSS バンド理論(1次元、その3)

<<   作成日時 : 2011/01/09 11:00   >>

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 前回のn=1の場合を拡張し、さらにn=2、3・・・となった場合も図Dのようにk=2π/a、3π/a・・・のところで2V2、2V3・・・というギャップを生じることになります。図の細い黒色の曲線はそれぞれ(26)式(再掲)でn=0〜3とした場合を示していますが、ギャップから離れたところではエネルギー(E-k)曲線はこれらとまったく重なっています。これがほとんど自由電子に近いモデルの特徴で、ポテンシャルの影響はギャップ付近のみに現れます。
   (26)
画像
 図Dはk>0の側しか描いていませんが、k<0も対称になります。ここで
 
の範囲を第1ブリルアンゾーンと言います。さらに
 
および
 
の範囲を第2ブリルアンゾーンといい、以下第3、第4・・・となります。

 ゾーンを日本語にしてブリルアン領域とかブリルアン帯域などということもあります。ブリルアンはフランスの物理学者(Leon Brillouin)の名前で、この他にもブリルアン散乱とかブリルアン関数などに名を残しています。日本ではブリュアンと呼ぶ場合もありますが、これが恐らくフランス語読みから、ブリルアンの方は英語読みから来ているように思いますが、確かではありません。この2つとも違う表記をしている本もあり、発音の仕方がまちまちですが、あまり気にしない方がよいでしょう。
画像
 nを正負に広く採り、エネルギー(E-k)曲線を求めると、図Eのように周期的な曲線がギャップを挟んで層状に重なっていることが分かります。曲線は周期的なので、図Fのように
 
の範囲だけを描けば十分で、この形式は還元ゾーン形式と呼ばれ、必要最小限のスペースで表現できることからよく使われます。この場合は一番下の曲線が第1ブリルアンゾーンでその上が第2、さらに第3、第4の順となります。なお、図Dのような形式を拡張ゾーン形式、図Eのような形式を反復ゾーン形式ということがあります。
画像
 1次元の周期ポテンシャルがある場合で、そのポテンシャルが小さく、電子がほとんど自由電子として振る舞う場合の、エネルギーは一般にバンド状になることが分かりました。ブリルアンゾーンと実際の結晶との関係をもう少しはっきりさせるためには、3次元の場合について考えてみる必要があります。




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