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zoom RSS 3次元結晶のエネルギーバンド

<<   作成日時 : 2011/02/27 20:51   >>

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 前回、説明した単純立方格子の第1ブリルアンゾーンを図Aに再度示します。図のように第1ブリルアンゾーンは立方体になります。このためこの立方体の中心に原点をとると、原点から第1ブリツアンゾーンまでの距離は方向によって変わります。
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 図でXと示したkx軸上の点の座標は(π/a,0,0)です。またMで示した点の座標は(π/a, π/a,0)、Rで示した点の座標は(π/a, π/a, π/a)です。Xで示した点と等価な点は黒丸で示した6点があります。また青丸のMは8点、赤丸のRも8点あります。

 等価な各点のΓで示した原点(0,0,0)からの距離はXがπ/a、Mが√2π/a、Rが√3π/aです。ここで各点を記号Γ、X、M、Rで示しましたが、これらはブリルアンゾーンの境界を表す記号としてほぼ慣習的に使われています。といっても本書(*)には書かれていません。本書は書かれた1960年にはまだ使われていなかったことを示しています。

 つぎにエネルギーEとkの関係を考えます。E-k曲線は還元ゾーン形式で描くと概略、図Bのようになります。k軸の値は上記の記号で示しています。エネルギーは基本的に
 
すなわちkの2次関数で表されると考えれば、ブリルアンゾーンが境界となる点のkの値が結晶の方向によって異なるので、ギャップが生じるエネルギーも異なることになります。MはXの約2倍、RはXの約3倍となります。
画像
 図Bの赤色の曲線が第1ブリルアンゾーンで、青色は第2ブリルアンゾーンです。第2ブリルアンゾーンがどのような形になるかはかなり複雑ですので、ここでは立ち入りません。

 上記の例の単純立方格子は実際の物質に対しては単純すぎてあまり役立ちません。例えばシリコンの結晶構造はダイヤモンド構造といわれる構造をもっていますが、これはだいぶ複雑で、第1ブリルアンゾーンがどのような形になるかも単純ではありません。したがってエネルギーバンドも複雑です。

 半導体素子を扱うためにはSiやGaAsなどのエネルギーバンドの構造を知っておくことが必要ですが、計算手法も得られる結果もかなり複雑ですので、ここで紹介できる範囲を超えています。

 本書にもこれらについては書かれていません。本書が書かれた1960年にはまだコンピュータが使える状況にはありませんでしたから、エネルギーバンドの正確な計算の成果が出てくるのはもっと後のことになります。

 これらが載っている本を少し紹介しておきます。まず固体物理の分野で有名な教科書である
 C・キッテル「固体物理学入門」(丸善)
には8章の半導体のところにゲルマニウムのエネルギーバンド構造の図が載っています。これは手元にある第5版での話ですが、最新版の第8版でも変わっていないと思います。この本の初版(原著)は1953年ですから、初版にはもちろん載っていなかったはずです。確認していませんが、恐らく1976年刊行のこの第5版で初めて載ったと思われます。

 上記の本も入門書ですから詳しい計算方法などまでは説明しません。現在、このようなことを解説していて手に入りやすい本は多くなく、以前より減ったような気がします。書店で見かける本としては
 御子柴宣夫著「半導体の物理」(培風館)
が挙げられます。この本の初版は1982年に出ていますが、現在書店に置かれているのは改訂版です。

 この本にはSi、Ge、GaAsのバンド構造が載っています。これらは1976年の論文からの引用となっていますから、バンド構造の詳細な計算ができるようになったのは1970年代中頃ということになります。計算に使う近似手法などについても紹介されていますが、これを読んだからと言って具体的な計算ができるというものではありません。

 なお、ここまで解説をするのに参考にさせていただいた本を紹介しておきます。
 金持徹編著「固体電子論」(裳華房)
がその本で、1995年の出版です。この本はバンド理論への導入手順が大変よく工夫されていて、似た解説をしている本はないと思います。

 以上で自由電子に近いモデルでのバンド理論は終わります。次回からはもう一つ別の考え方のバンド理論に入ります。

(*)植村泰忠、菊池誠著、「半導体の理論と応用(上)」、裳華房

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