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zoom RSS 不純物が添加された半導体での電子のエネルギー分布

<<   作成日時 : 2011/06/21 21:34   >>

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 不純物が添加され、不純物準位がある場合に電子のエネルギー分布はどうなるか、これは真性半導体の場合(http://sunatsubu.at.webry.info/201104/article_4.html参照)と同じ考え方で導くことができます。
画像
 図Aのように半導体中にエネルギーがE=EDのドナー準位だけが1つあり、その状態密度がNDであるとします。ここにnD個の電子が入るわけですが、電子に正のスピンと負のスピンをもつ2種類があることを考慮しなければなりません。それらの密度をそれぞれnD+、nD-とします。
 

 まず、正のスピンをもつ電子nD+はNDの状態にそれぞれ1個しか入れませんから、その入り方の場合の数は、ND個の箱に区別のないnD+個のボールを入れる仕方の数と同じです。すなわち
   (1)
と表せます。残りの状態は(ND-nD+)個で、ここに負のスピンをもつ電子nD-個が入る仕方の数は
   (2)
となります。

 NDの状態に正負のスピンをもった電子が入る仕方の数wは(1)と(2)をかけて
   (3)
となります。

 この後は真性半導体の場合と同様の手順をとります。両辺の対数をとり、スターリングの公式を用い、(3)式のwをnD+とnD-でそれぞれ微分します。その結果、α、βを定数として
   (4)
   (5)
が得られます。

 (4)、(5)両式が成り立つためには、
 
である必要があり、この関係を用いると(4)式または(5)式は
 
となります。したがって
   (6)
が得られます。ここで
 
と置きました。前に出てきたフェルミ分布関数とのちがいはexpの前に1/2がついていることです。
画像

 ドナー準位は伝導帯のすぐ下にあるので、伝導帯の電子はこのドナー準位からすべて供給される図Bで表されるような状態にあると考えてよいでしょう。であれば電子が入っていないドナー準位の状態の数が伝導帯の電子の数nに相当することになります。
 
これに(6)式と以前に導いた伝導帯の電子密度の式を用いると
 
となります。少し書き直すと
 

 ここでn<<NDならば
 
となります。EFについて解くと
 
となり、ドナー準位がある場のフェルミレベルはドナー準位と伝導帯の底の大体中央にあることがわかります。このEFを用いると、nは
 
と表せます。




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