石くれと砂粒の世界

アクセスカウンタ

zoom RSS pn接合の電位分布

<<   作成日時 : 2011/08/07 21:57   >>

ブログ気持玉 0 / トラックバック 0 / コメント 0

 前回までで本書「半導体の理論と応用」では第2章に相当する半導体のウィルソン模型の話が大体終わりました。言い換えれば単独の半導体におけるキャリア(電子と正孔)のエネルギー分布を表す理論式が与えられました。

 ここでの目的は半導体デバイスを理解することですから、つぎのステップとしては2種類以上の半導体が接合した場合を表現する理論式を導くことが必要になります。本書でも第3章が「金属整流器の発展」、第4章が「Si、Geダイオードおよびトランジスタの発展」となっていて、やはりデバイスへ話が移っています。

 ただ残念ながら、金属整流器はもはやあまり使われなくなり、第4章もトランジスタ惣明期の話が中心で、さすがに古くなっています。そこでこれからは本書はときどき興味あるところを参照するに留め、本書にはとらわれずに話を進めます。

 接合のうち、もっとも重要なのはpn接合です。その基礎となるのが、同一半導体の接合、すなわちホモ接合です。そこでまずはホモpn接合の整流特性についての表式を紹介します。今回はまずpn接合の電位分布を表す式を導きます。

 p形半導体とn形半導体を接合すると、どういうことが起こるかについてはすでに説明してあります(http://sunatsubu.at.webry.info/200510/article_5.html)。簡単に繰り返しますと、接合した界面付近ではn形半導体中の伝導電子とp形半導体中の正孔が互いに反対の半導体中に拡散しますが、負に帯電したアクセプタと正に帯電したドナーが存在する領域が形成されるので、ある電位分布ができたところでバランスします。この電位分布をまずは計算します。

 この問題は、空間に電荷がある形に分布しているとき、それが作る電位はどのような分布になるかという電磁気学の問題に帰せられます。電磁気学でこの問題を解くために使われる公式はポアソンの方程式と呼ばれるものです。

 電荷分布ρ(x)がその周囲にどのような電界E(x)を作るかはガウスの法則によって示されます。次式は微分形式で表した1次元のガウスの法則です。εは周囲の誘電率です。これは電磁気学の基本方程式であるマクスウェルの方程式の一つでもあります。
 

 この法則は電荷の間にはたらく力を表すクーロンの法則から導かれますが、その導出は数学的な準備で脇道が長くなりますので、ここでは省略します。一方、電位φは電界Eの傾斜ですから、
 
です。これを上式に入れると
   (1)
が得られます。これがポアソンの方程式です。電荷分布ρ(x)が与えられたとき、この微分方程式を解くことにより、電位分布φ(x)が求められます。

 さて、pn接合の電位分布を求めるため、もっとも簡単にアクセプタ、ドナーの密度が各半導体中で一定であると仮定します。簡単ではありますが、実際の接合に十分使えます。
画像
 計算を行うため、図Aに示すような1次元の電荷分布を仮定します。p形半導体側(x<0)では接合面(x=0)から幅dAの間が密度NAのアクセプタが帯電しているとします。n形半導体側(x>0)では接合面から幅dDの間が密度NDのアクセプタが帯電しているとします。この外側、つまりx<dAとx>dDの領域では電荷が0、すなわち
 
となります。-dA<x<0の範囲では
 
0<x<dDの範囲では
 
です。

 また、-dA<x<0と0<x<dDの範囲での電位をそれぞれφ1、φ2として、ポアソン方程式を解きましょう。境界条件は
 
 
とします。dφ/dx=0の境界条件は電荷がない領域で電界が0であることによります。VDはpn接合の内蔵電位です。

 ポアソン方程式((1)式)は電位の2次微分が定数という式ですから、電位をxの2次関数とし、境界条件から係数を決めます。結果は
   (2)
   (3)
となります。この電位分布の概形を図Bに示します。

 さらにx=0で電位と電界は連続でなければならないので、
 
 
の条件が成り立つ必要があります。これを書き直すと
 
 
が得られます。

 これを(2)、(3)式に代入するとdAとdD
   (4)
   (5)
となります。したがって空乏層全体の幅dは
 
  
となります。

 一方の不純物濃度が非常に高い、例えば
 
のような場合は
 
となり、空乏層は不純物濃度の少ない側に伸びるという性質があります。このときの単位面積当たりの空乏層の静電容量Cはつぎのように表されます。
 
この静電容量の特徴は印加する電圧によって変化することで、容量−電圧特性を測定することにより、接合の状態を調べることができます。

テーマ

関連テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(0件)

内 容 ニックネーム/日時

コメントする help

ニックネーム
本 文
pn接合の電位分布  石くれと砂粒の世界/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる