石くれと砂粒の世界

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zoom RSS ワイブル分布

<<   作成日時 : 2013/06/30 19:37   >>

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 前回導いた式に具体的な関数を当てはめてみましょう。
 まず信頼度関数R(t)は数値例であげたように通常時間とともに減少するので、
  
のように指数関数を仮定してみます。t0は時定数に相当します。故障分布関数F(t)は
  
となります。このとき故障確率密度関数f(t)は前回の定義式より
  
となります。また故障率関数λ(t)は
  
となり、時間に依存せず一定となることがわかります。つまり偶発故障はこのように表すことができることがわかります。ここでλの逆数、すなわちt0を平均故障寿命(MTTF)または平均故障間隔(MTBF)と呼びます。この時間は
  
となる時間を意味します。

 別の考えとして前の数値例でR(t)が長い時間経過した後で減少する場合、f(t)がピークをもつような結果が得られていました。これに着目して
  
のようにf(t)が正規分布であると仮定してみます。ここでμは平均値、σは標準偏差に相当します。このときF(t)は
  
となります。正規分布の性質についてはここでは省略しますが、この場合はある時間に集中して故障が起こることが示されていて、摩耗故障に相当することがわかります。

 以上のように故障を表す関数は場合によってちがうことになります。これは不便なので、統一的な関数で表せるように考えられたのがワイブル分布です。ワイブルというのは人名で、この関数を考案したスウェーデン出身のE. H. W. Weibullに因んでいます。

 ワイブル分布においてはf(t)を
  
のように表します。η、m、γはいずれも定数です。R(t)は
  
となり、λ(t)は
  
となります。ここでmは形状パラメータと呼んでいますが、このmをパラメータとしてR(t)、f(t)、λ(t)を計算してみると図A〜Cのようになります。

 m=1のときR(t)は指数分布に一致し、m=2のときは正規分布に一致します。前の数値例と比較するとm<1のときは初期故障、m=1のときは偶発故障、m>1のときは摩耗故障に相当していることがわかるかと思います。
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