摂動法（その１）

　量子閉じ込めシュタルク効果は量子井戸の量子準位が電界印加によって変化することによって起こることを前回説明しました。準位の変化は量子力学的に検証しなければなりません。準位が電界の影響によってどう変化するかを計算するにはシュレディンガー方程式を解かなければなりませんが、電界によるポテンシャルエネルギーの変化を加味すると解析的には解けなくなってしまいます。

　そこで近似計算が行われるのですが、その近似法として使われるのが摂動法です。これまでこの方法については説明していませんので、この機会に紹介したいと思います。

　摂動法というのは量子力学のために作られた方法ではなく、古くは天文学の星の軌道計算などに使われてきた方法です。例えば太陽の周りを回る地球の軌道は太陽と地球の間の万有引力によって大体決まりますが、厳密には他の惑星、金星や火星や木星などによる引力の影響をわずかながら受けて少し軌道が変わります。このわずかな変化はまともに複数の天体からの引力を考慮して厳密に計算するのは困難です。

　そこで用いられたのが摂動法です。摂動は英語のpurtervationの訳語ですが、purterveとは乱すという意味です。つまり摂動法とはわずかな乱れを計算する近似方法という意味です。基本的には乱れがないとき、例えば地球と太陽しかない場合の解がわかっているとし、乱れが生じたとき、例えば火星の引力を考慮する場合、その乱れ、変化は火星の影響を考えない場合に対してわずかなものと考えます。そのときの解は乱れのない場合の分かっている解をもとに、それに微小な項を級数として加えた関数で表せるであろうと仮定します。そしてこの級数の係数を合理的に決定すれば、近似解が得られるという考え方です。

　ここでは古典力学から解き明かすような一般的な方法にまで立ち返らず、量子力学のための近似方法を説明します。

　時間に依存しない定常状態で、固有エネルギーは１つだけ、つまり縮退のない１次元の系を考えます。この場合のシュレディンガー方程式は波動関数をψ、固有エネルギーをＥ、ポテンシャルエネルギーをＶとして
　　
と書けますが、これを書き直して
　　
とすると、左辺のカッコ内がハミルトン演算子（ハミルトニアン）Ｈですから
　　　　　（１）
となります。シュレディンガー方程式の解析解が得られ、Ψが既知であるような基準となる状態（例えばＶ＝０としてもよいです）の（１）式を
　　　　　（２）
と書きます。右肩の添え字(0)は基準状態（摂動のない状態）を表し、波動関数の添え字ｎは量子数（つまり（２）式の解は複数あるのでそれに番号をつける）で、面倒ですが後で登場する他の状態と区別するために付けてあります。

　ここで外力が加わるなどしてポテンシャルエネルギーが変化したとします。（１）式よりハミルトニアンが変化しますから、これを
　　
と書きます。λは定数で０～１の値をとるとします。シュレディンガー方程式は
　　　　　（３）
となります。ここでψ_nが求めたいけれども解が得られない波動関数です。λが小さいとすればこれを使ってψ_nとＥ_nを展開した関数で求めたい解は近似できると考えます。その級数を
　　　　　（４）
　　　　　（５）
と書きます。これを（３）式に代入すると、
　　
　　
　　　　　（６）
となりますが、λの各次数について（６）式の両辺の係数は等しいはずですから、次数ごとに整理すると
＜０次＞
　　
＜１次＞
　　　　　（７）
＜２次＞
　　
　　　　　（８）
となります。０次は（２）式と同じ式になります。

　つぎに固有エネルギーの第１近似を求めます。（７）式を用います。両辺に左から複素共役関数ψ_n^(0)*をかけて積分し、スカラー積（内積）をつくります。すると（７）式左辺は

　　左辺
　　　　　
となります。エルミート演算子の性質を使って
　　　　
と変形し、（２）式の関係を使えば
　　　　
となり、左辺は０であることがわかります。

　つぎに（７）式の右辺です。
　　右辺
　　　　　
　　　　
　　　　
となるので、左辺が０であるので
　　　　　（９）
が得られます。

　長くなるので今回はここまでとします。