ブリルアンゾーン（２次元）

　格子の周期がaであれば、電子波の波数kが
　
の範囲を第１ブリルアンゾーンと呼ぶことは以前に示しました。それでは３次元の場合はどうなるでしょうか。その前に２次元で考えてみます。

　前回示したようにブリルアンゾーンの境界ではブラッグ条件
　
が成り立ちます。第１ブリルアンゾーンでは、n=1とし、k=2π/λと置き換えると
　
となります。この関係を２次元の図に描くと図Ａのようになり、θが変化するとベクトルkの終点の軌跡はx=π/aの直線になります。y方向も同様に考えると、図Ｂの正方形で囲まれた範囲が２次元の第１ブリルアンゾーンとなります。この直線を画面に垂直な平面と考えれば、３次元のブリルアンゾーンになることが推測できます。

　ところで図Ｃのように２次元の碁盤の目に原子が並んでいると考えると、原子はなにもx方向とy方向にだけに周期をもって並んでいるわけではありません。例えばx、y方向と45°傾いた方向の直線（赤色の線）上にも並んでいます。ただしこの場合直線間の距離はaではなく、a/√2と短くなります。この面でのブラッグ反射の条件は
　
となります。この場合、θが変化するとベクトルkの終点の軌跡は図Ｄの斜めの直線になります。この斜めの線で囲まれた領域で、さきの第１ブリルアンゾーンの外側に当たる領域が第２ブリルアンゾーンということになります。

　２次元の第１、第２ブリルアンゾーンを描いたのが図Ｅです。以上を３次元に拡張することはできそうですが、いろいろな原子の並び方がある実際の３次元結晶に対応させるやり方が以上ではまだはっきりしないと思います。それは次回に。