石くれと砂粒の世界

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zoom RSS アインシュタインの関係式(その3)

<<   作成日時 : 2010/08/01 12:36   >>

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 前々回導いた個々の電子に関する次の運動方程式(6)、
   (6)
を運動する多数の電子に関して平均します。これを行うために必要な次式((7)式)を前回導きました。
   (7)

 また右辺のの平均も0となることは前々回すでに述べました。

 以上を使うと(6)式は
   (8)
となります。

 ここで
 
とおけば、(8)式は
 
という形の微分方程式ですから、(8)式の解は次式のようになります。
   (9)
ただしCは積分定数です。ここでより充分長い時間(つまり)を考えると、上式右辺第2項は小さくなりますから、これを無視し、
   (10)
が得られます。

 ここで(10)式左辺はつぎのように書き換えることができます。
   (11)
上式右辺は時間によらず一定ですから、
   (12)
ここにも積分定数の項が本来は必要ですが、という条件での解ですから、その項は無視しました。

 この(12)式は拡散とどう結びつくのでしょうか。3回前に導いた拡散した粒子の分布を表す式を再掲します。
  (13)

 この式はガウス分布(正規分布)を表す式
   (14)
と同じ形をしています。xについて対象な関数ですからxについての平均は0です。についての平均はとなることが知られています。は分散と呼ばれています。

 (13)、(14)式を比較して、の平均は
   (15)
となります。

 このは(12)式の左辺とみることができます。したがって
 
となり、アインシュタインの関係式((3)式)が得られます。

 このような簡単な式の導出ですが、結構、大変でしたね。手順をまとめると、つぎのようになります。
・電子が原子と衝突を繰り返しながら運動する状態を表す緩和時間を含む粒子の運動方程式を求める。
・気体分子運動論の状態方程式を使って、粒子の平均運動エネルギーとkTを結びつける。
・拡散による粒子分布と粒子の平均移動距離を結びつける。

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