石くれと砂粒の世界

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zoom RSS 波動を表す数式

<<   作成日時 : 2010/09/19 21:18   >>

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 前回も言いましたが、波動といえば正弦波(サイン波)が代表的です。これは式で表せばで、グラフに描けば図Aのようになります。ここでいう、つまり横軸は何なのでしょうか。また縦軸の値は何を意味するのでしょうか。物理ではそれがはっきりしていないといけません。
画像
 波の例として池の水面に小石を落としたときに起きる波を考えましょう。この場合、水面の波は、図Bのように石を落とした位置から同心円状に次第に広がっていきます。波が広がる同心円の半径方向(例えば図のx方向)に水面の形を見るとこれは正弦波状になっているでしょう。つまりこの場合、は距離(位置)xで、水面の高さをとすると、
   (1)
と表されます。Aとkは後で説明しますが、実数の定数です。

 この式は前回のオイラーの公式によって表したものですが、この波が図Cのようなものであれば、虚数部をとって
 
となります。

 もう一つの見方として、波が通っていく水面の1点をじっとみているとどんな変化が見られるでしょうか。時間が経過するとともに水面が上下しているはずです。上記のxに対する場合より眼で観察しても分かりにくいでしょうが、時間tに対しても水面は正弦波状に上下に動いているはずです。つまりこの場合、は時間tで、水面の高さをとすると、
   (2)
と表されます。も実数です。この場合、図Dのような波形とすると、虚数部をとって表せます。
画像
 このように波は位置に対しても、時間に対しても変化していますから、両方を見なければいけません。そこで上式を掛け合わせて
   (3)
と表します。このような形になっても虚数部をとれば、三角関数で波の形が表せるのがオイラーの公式のすばらしいところです。

 さてkですが、これは物理的には波数と言われ、図Cに示した波長と次のような関係があります。
 
の周期は図Aのように(ラジアン)ですが、実際の波の周期は波長です。そこでx= のときとなるようにしているわけです。

 は角周波数と呼ばれますが、これも同じで、時間的な周期Tもではないので、t=Tのときとなるように、tにをかけています。角周波数と周期T、またその逆数の通常の振動数(周波数)とはつぎのような関係にあります。
 

 (3)式のAは振幅です。図Aのようにsinは+1と-1の間の値しか取りませんが、実際の波の最大値、最小値はもちろんいつも1ではありません。そこでAという常数をかけて対処します。

 また(3)式のは位相です。実際の波は必ずしもx=0、t=0で0であるわけではないので、という定数を入れてそれを表します。

 また、位置と時間に対して位相がちょうどπずれているような場合は指数部分を
 
とすればそれを表せます。共役複素数の虚数部は符号が反対であることを利用した表現です。

 以上が波動を表す式の基本ですが、これから扱う電磁波の場合などでは位置を3次元で表す必要がある場合があります。この場合は位置をベクトルを使って表すことができます。単にxをベクトルで置き換えればよいので、式としては同じ形になります。
 

 さて以上の知識をもとに、量子力学の基本方程式であるシュレディンガーの波動方程式にとりかかります。

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