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zoom RSS 境界条件(その2)

<<   作成日時 : 2010/11/14 19:14   >>

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 前回、結晶の端で波動関数が0になるという境界条件のもとでの、自由電子モデルのシュレーディンガー方程式の解を紹介しましたが、今回はこれとは違うもう一つの境界条件を考えます。

 自由電子モデルのシュレーディンガー方程式(x成分)をもう一度書いておきます。
   (1)

 結晶は原子が規則的に並んでいることから、波動関数も周期的であると考えるのは自然でしょう。これを境界条件として式で表すと、
   (2)
となります。Lは前回とは意味が異なり、波動関数の周期です。y方向、z方向も同様となります。この条件を本書(*) では巡回境界条件と呼んでいます。

 これを(1)式の解の一つである次式に入れて変形してみます。
  (3)
 
    
結局、
 
が成り立つということになります。これはオイラーの公式を思い出せば、
 
すなわち、
であればよいという条件です。本書では
 
   
と置いています。

 一方、規格化条件ですが、オイラーの公式に戻ればわかるように
 
となり、右辺は定数ですから、これを0からLまで積分した規格化条件は
 
すなわち、
です。以上より、この巡回境界条件においては、波動関数のx成分は
 
となります。

 y、z方向についても考慮した波動関数
 
となります。ただし
 
であり、gの成分は
 
 
 
です。したがってエネルギーは、
 
   
となり、やはりとびとびの値をとります。

 この巡回境界条件は以後の議論にとって重要な役割を果たすことになります。

(*)植村泰忠、菊池誠著、「半導体の理論と応用(上)」、裳華房

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