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zoom RSS エネルギーギャップの意味

<<   作成日時 : 2011/01/16 20:32   >>

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 周期ポテンシャルがある場合、電子のエネルギーにギャップが生じることは数学的に導かれましたが、このギャップはどんな意味をもっているのでしょうか。久しぶりに「半導体の理論と応用」(*)に戻りますが、本書では1次元のバンド理論を説明した後(ここではこれをさらにかみ砕いて説明したつもりです)、エネルギーギャップの意味について触れています。

 ギャップは波数kが
    
のところで生じます。波長λは
 
ですから、波長で言えばギャップは
 
のところで生じます。n=1のとき、電子の波長は原子の間隔aの2倍になっています。ということは隣り合う距離aの間隔の原子からそれぞれ反射した波は入射波と干渉することになります。

 前に考えたのと同じようにn=0とn=1の場合だけを考えると1次元の波動関数は 
 
です。ただし
 
です。

 波動関数の2つの成分はk=π/aのとき、
 
 
の2つの成分を持ちます。これらが原子に入射すると、原子が間隔aで並んでいるところにその間隔の2倍の波長をもつ波が入射したことになりますから、干渉が生じ定在波が発生します。その波形は
 

 
とになります。このときエネルギーはcosに対して

となり、sinに対して
 
となって、両者の間にの差が生じます。これがエネルギーギャップとなると考えられます。

 なお、電子の存在確率はで表されますから
 
および
 
で表されることになります。これは周期aをもつのでポテンシャルの変化に沿って電子の存在する確率も同様に変化することになります。図はこの様子を示したものです。

(*)植村泰忠、菊池誠著、「半導体の理論と応用(上)」、裳華房
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