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zoom RSS バンド理論(1次元、その2)

<<   作成日時 : 2011/01/05 20:57   >>

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 前回得たエネルギーEの式(21)がどんなことを示しているかを調べます。
   (21)
画像
 この式のままでは具体的に考えられないので、近似を考えます。電子にはたらくポテンシャルエネルギーは小さく、ほとんど自由電子モデルから大きく離れていない場合を考えます。これを"Near Free Electron"モデルと呼ぶことがあります。

 まず見通しを付けるためにVnVn*が小さくてほとんど無視できる場合を考えます。(21)式はVnVn*=0と置くと、
  (22)
となります。式中にある±に対応してと置いて
   (23)
   (24)
絶対値の部分を場合分けすると
   (23a)
   (23b)
   (24a)
   (24b)
となります。
 
 具体的なグラフを描くためにn=±1の場合を考えます。自由電子のエネルギーは
   (25)
ですから、
   (26)
   (27)
画像
 (26)、(27)式のエネルギーは横軸にkを取って描くと図Aのようになります。(23)、(24)式の場合分けを考えると境目はn=0とn=±1の曲線の交点になります。を色分けで示したのが、図Bです。交点は
 
のところにあります。

 以上はポテンシャルを無視した場合ですが、ポテンシャルが小さくても無視できないのは
 
が小さく零に近い場合です。それは交点付近であることがわかります。

(21)でn=1とし、
 
と置くと、k=π/aのところのエネルギーは
 
      (28)
となります。ここでE(π/a)は(26)、(27)式の交点のエネルギーです。 (28)式は図Bで交点であったところは実は図Cのように2V1のギャップを生じることを示しています。なお、図示したギャップ付近の曲線は正確なものではありません。このような感じになるといった程度でお考え下さい。

 以下、次へ回します。
画像

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