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zoom RSS 平均寿命の推定

<<   作成日時 : 2013/07/15 10:27   >>

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 ワイブル分布のパラメータmを求める方法を前回説明しましたが、これだけでは肝心の製品の寿命を推定したことにはなりません。今回は得られたデータから寿命を推定する方法について説明します。

 寿命試験では複数の製品を動作させ続け、1つ1つ故障が発生した時間を計ります。1つ1つの製品の寿命はまさにこの時間です。しかし「この製品の寿命は○○時間でした」といっても何の意味もありません。「この製品はまず○○時間は故障しないはずです」と言う必要があります。これがわかれば、どの位の時間使ったら交換したらいいか準備ができますし、この値段でその位の期間使えるなら安いとか高いとかの判断もできます。

 このような寿命は推定値です。推定値をどう決めるかにはいくつかの考え方があります。もっとも普通な考え方は平均寿命でしょう。平均的にこの時間は故障しないというものです。多くの故障データをとれば、その平均値を求めることができます。もう少し違った考え方としては、ある時間までに何%の確率で故障が起きる、または起きないという表し方もあります。

 ここでは平均寿命を考えてみます。個数nの製品を試験し、すべてについて故障が発生した時間tiのデータがとれた場合には、平均寿命の推定値μは
  
となります。これは一般的にいうと期待値に相当します。時間の区間Δtごとの故障件数をriとすると故障確率密度fi
  
でしたから、これを使うと
  
とも書けます。

 これを連続関数に拡張するとワイブル関数で表される故障確率密度関数
  
に対して、故障が発生する期待値すなわち平均寿命μは
  
     (1)
と表されます。この式は教科書などでは次のようにガンマ(Γ)関数を使って表されているのが普通ですが、その導出過程はあまり書かれていないので、ここでは簡単に記しておきます。

 まず指数関数expのなかを
  
のように変数変換するのが、ポイントです。微分形は
  
となります。

これを(1)式に代入して
    (2)

 ここで
  
の形の関数をガンマ関数と呼んでいます。(2)式と比べると
  
ですから、(2)式は
  
と簡単な形で表されることがわかります。

 mとηが求まっていれば、ガンマ関数の値を計算して平均寿命μが求められます。しかしΓ関数の数値を簡単に計算することはできず、数値近似計算によるしかありません。この点は従来のワイブル確率紙に寿命推定用の目盛りが用意されているので、便利です。確率紙によらなくても表計算ソフト(Excel)にはガンマ関数が用意されているので、これを利用すれば数値は簡単に得られます。

 前回の3種類の模擬データから得られるm、η、平均寿命μをまとめて下表に示します。
m=1のとき、ワイブル分布は指数分布に一致します。したがって平均寿命はηに一致します。3つのデータのうち、mがもっとも1に近いのはデータ2ですが、μの値は他の2つに比べてηの値に近いのがわかります。
画像

 指数分布の場合の平均寿命は残存数がnの1/e(=0.36、eは自然対数の底=2.72)になる時間に相当します。データ2ではn=20でしたから、その1/eは約7個が残存する(13個が故障)までの時間に相当します。データ2でそれは時間が400から500の間にあるので、μ=410はもっともらしい結果です。この時間は架空のもので例えば実際の時間はこの100倍とすれば、平均寿命はおよそ40000時間ということになります。

 実際の製品ではこのように長い時間の試験はできないので、せいぜいm〜1となるデータがとれる時間まで試験し、あとは時間を外挿して寿命を推定する方法が取られます。

 以上の議論は実際のデバイス、ここではLEDのなかで何が起こって故障が起きたかということには関係なく、とにかくどのくらいの時間まで故障せずに使えるかを試験結果をもとに推定する方法でした。

 しかしできるだけLEDの寿命を長くするにはどうしたらよいかについての答は出してくれません。それにはLEDのなかで何が起きて故障に至るのかを調べる必要があります。その辺りについて次回以降に。

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