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zoom RSS トンネル確率(その2、モデル計算)

<<   作成日時 : 2016/02/14 19:55   >>

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 以前に求めたトンネル確率はポテンシャルが各部で一定な場合でした。ポテンシャルが位置に対して変化する場合も考え方は同じですが、境界条件が定めにくい場合などはやや近似的に考える必要があります。

 まず図Aのような任意のx方向に変化するポテンシャル障壁を考えます。電子のエネルギーεはxがaからbの間で障壁のポテンシャルV(x)より小さいとします。この場合、きっちりした境界条件の設定ができません。言えるのは例えばx→−∞ではポテンシャルVは0になるので、波動関数ψはおおよそ
    (1)
のように書けそうだということです。ただし
  
ここで右辺第1項は図の左から右へ進み、障壁に入射する電子を表し、第2項は障壁で反射される電子を表します(Aは定数)。
画像

 いま問題にしているトンネル現象に対応する電子はxがa〜bの範囲にある場合です。この範囲ではε<V(x)です。この範囲で左から右に進む電子の波動関数は大体
  (2)
のように書けると考えられます。ただし
  
です。

 (1)、(2)式より透過率すなわちトンネル確率Tはおおよそ
  (3)
と書けると考えられます。

 つぎにポテンシャルVがxに対して直線的に変化する具体例を考えます。第1の例は図Bのようなポテンシャルです。x軸に沿って電子が障壁をトンネルするとすればxの範囲は−x〜xの範囲を考えます。
  

電界Eは
  
と表されます。
画像

 (3)式よりトンネル確率は
  
となります。積分が計算できて
  
     (4)
となります。

 もう一つは図Cのような2次関数のポテンシャルの例です。xが−xとxの間でポテンシャルV(x)は
  
と書けるとします。
画像

同様な計算ができ、トンネル確率Tはつぎのように計算できます。
  
積分を実行するために
  
と変数変換を行い、
  
     (5)
となります。

 以下次回に続きます。

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