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zoom RSS 摂動法(その2)

<<   作成日時 : 2017/04/02 16:42   >>

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 1次のψn(1)、これを1次の摂動項と呼びますが、これを求めるのが、この近似解法の最初の目的です。そこでまずこれをψn(0)で展開して表示します。
    (10)
(10)式を(7)式に代入すると
  
書き直して
    (11)
となります。

 (11)式の左から共役関数のψk(0)*をかけて積分し、スカラー積(内積)を作ります。まず左辺は
  左辺
    
積分のなかはm=kの場合以外はすべて0になるので
  左辺
       (12)
となります。つぎに(11)式の右辺は
  右辺
    
       (13)
となります。kとnが異なるとき(12)、(13)式から
    
の関係が得られ、これより展開係数ckが次式のように求められます。
       (14)

 一方、k=nの場合を(12)、(13)式に適用すると
  
が得られるので、エネルギーEの1次の摂動解は
     (15)
となり、前回に結果と一致します。

 一方で(14)式はk=nのとき分母が0になってしまうため、この式からはcnは求められません。これを解決するためψnの規格化条件を用いてみます。前回の(4)式に戻って
  
   
   
と書けます。これより
  
     (16)
となります。規格化条件は(16)式=1ですから
  
でなければならず、
  
となります。

 以上より1次の摂動による波動関数の解は
     (17)
となります。(15)式と(17)式が1次の摂動による解となります。

 さらに次回に続きます。

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